20230424 벡터란? 스칼라,norm, 삼각함수, 내적 뜻.

 

수포자의 벡터 공부다. 뜻만 알아보자. 중학교 때는 수학을 좀 했지만 고등학교 때는 거의 꼴등이었으니까.. 지금도 거의 하나도 모른다고 보면 된다. 아무튼 공부.

 

벡터란?

 

벡터(vector)란 크기와 방향을 모두 갖는 양을 나타내는 개념이다.

공간에서의 위치를 나타내는 벡터는 원점에서 해당 위치까지의 거리와 방향으로 정의되며 벡터는 물리학에서 힘, 속도, 가속도 등과 같은 양을 나타내는 데에도 사용된다.

수학적으로 벡터는 일반적으로 화살표로 표현되는데, 이 화살표는 시작점과 끝점을 가지며, 시작점에서 끝점까지의 방향과 크기를 나타낸다.

또한, 벡터는 좌표계에서 좌표로 표현될 수도 있다. 이때 벡터의 좌표는 일반적으로 열벡터로 표현되며, 벡터의 크기는 해당 벡터의 길이(norm)로 정의된다.

 

벡터의 형태와 연산

 

물체의 위치를 나타내는 벡터는 일반적으로 3차원 공간에서 (x, y, z)와 같은 형태로 표현되는데 예를 들면 3,4,1 이라는 벡터는 각각 x,y,z만큼 3,4,1 만큼 이동한 것을 의미한다.
또한 벡터는 다른 벡터와 연산이 가능하다. 예를 들면 벡터의 덧셈은 각 축 방향의 합으로 정의된다.
ex) (1,2,3)+(1,2,3) = (2,4,6)

 

 

벡터의 내적(dot product)

 

벡터의 내적(dot product)은 두 벡터 간의 유사도를 나타낸다.

두 벡터의 내적은 두 벡터가 이루는 각도와 벡터의 크기를 바탕으로 계산되는데 이 때 내적의 결과는 *스칼라 값으로 나타난다. 벡터의 내적은 다음과 같이 정의된다.
a · b = |a| × |b| × cos θ

여기서 a와 b는 각각의 벡터를 나타내며, |a|와 |b|는 각 벡터의 크기(norm)를 나타내고, θ는 두 벡터가 이루는 각도이다.

 

예를 들어, a = (1, 2, 3)이고 b = (4, 5, 6)일 때, 두 벡터의 내적은 다음과 같이 계산된다.
a · b = (1 × 4) + (2 × 5) + (3 × 6) = 32

 

 * 스칼라란? 스칼라(scalar)란 크기만을 가지고 방향이 없는 양을 나타내는 개념. 스칼라는 일반적으로 실수(real number)로 표현되며, 벡터와 함께 사용될 때 벡터의 크기를 나타내기 위해 사용된다.

 

norm이란? 벡터의 크기를 나타내는 지표

벡터의 각 원소들의 제곱을 합한 후에 제곱근을 취한 값이다.

||x|| = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)

 x = [3, 4]의 Euclidean norm은 ||x|| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5

||v1|| = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13) 약 3.61
||v2|| = sqrt((-1)^2 + 4^2) = sqrt(17) 약 4.12

즉, 벡터 v1의 Euclidean norm은 약 3.61이고, 벡터 v2의 Euclidean norm은 약 4.12이다.

 

L1 norm은 벡터의 각 원소의 절대값을 더한 값을 의미한다. 즉, 벡터의 모든 원소를 절댓값으로 변환한 후에 더하는 것입니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|

예를 들어, 2차원 벡터 x = [3, -4]의 L1 norm은 다음과 같이 계산할 수 있다.

||x||1 = |3| + |-4| = 3 + 4 = 7

 

max norm은 벡터의 모든 원소 중에서 절댓값이 가장 큰 값을 선택하는 것이다.. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)

예를 들어, 2차원 벡터 x = [3, -4]의 max norm은 다음과 같이 계산할 수 있다.

||x||∞ = max(|3|, |-4|) = 4

L1 norm은 벡터의 각 원소의 중요도가 동등할 때 사용하며, max norm은 벡터의 원소 중에서 가장 큰 값이 중요할 때 사용된다.

 

 * 삼각함수
삼각함수는 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 삼각함수를 사용하여 파동의 주기, 진폭 등을 계산할 수 있으며, 건축, 공간 디자인 등에서도 삼각함수를 활용하여 각도와 길이를 계산한다.

 

사인(sine)
사인은 삼각형에서 한 각도의 대변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값이다. 즉, sin(theta) = 대변 / 빗변 이다. 여기서 세타(theta)는 해당 각도를 나타내며, 대변은 빗변과 그 각도의 맞은편에 위치한 변의 길이이다.

코사인(cosine)
코사인은 삼각형에서 한 각도의 인접변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값이다. 즉, cos(theta) = 인접변 / 빗변 이다. 여기서 세타(theta)는 해당 각도를 나타내며, 인접변은 빗변과 그 각도에 인접한 변의 길이이다.

탄젠트(tangent)
탄젠트는 삼각형에서 한 각도의 대변의 길이를 인접변의 길이로 나눈 값이다. 즉, tan(theta) = 대변 / 인접변 이다. 여기서 세타(theta)는 해당 각도를 나타내며, 대변은 빗변과 그 각도의 맞은편에 위치한 변의 길이를 의미하고, 인접변은 빗변과 그 각도에 인접한 변의 길이이다.